Page 39 - 信息的脉络

·第一部分·
叶斯自己对此也未曾想到。在 1761 年 4 月去世之时，这位英国神学家留下了一些
未完成的论文，其中一篇文章的题目是《关于如何在机会论的框架下解决问题》。
如此重要的成果，他生前却并未发表，多亏了他的不知名的朋友理查德·普莱斯
的努力，使得这篇文章在 1763 年才发表。
在这篇论文中，贝叶斯提出了一种思考偶然性的方法，概率问题可以正向计算，

也能反推回去。当年的贝叶斯更感兴趣的是反过来的“逆概率问题”，为了解决
逆概率问题，贝叶斯在他的论文中提供了一种方法，即贝叶斯定理：
后验概率 = 观测数据决定的调整因子 × 先验概率

上述公式的意义，指的是首先对未知概率有一个先验猜测，然后结合观测数
据，修正先验，得到更为合理的后验概率。“先验”和“后验”是相对而言的，
前一次算出的后验概率，可作为后一次的先验概率，然后再与新的观察数据相结合，
得到新的后验概率。因此，运用贝叶斯公式有可能对某种未知的不确定性逐次修

正概率，并得到最终结果，即解决逆概率问题。
想象一下有两个相同的罐子，每个罐子里装有 40 颗石子，1 号罐子里装了 30
颗白色石子和 10 颗黑色石子，2 号罐子里装有黑白石子各 20 颗。假设随机拿起一

个罐子，并从这个罐子里随机取出一颗石子，且这个石子是白色的，那么这颗白
色石子来自 1 号罐子的概率是多少？
从直观上来说，有人会认为这颗白色石子更有可能来自 1 号罐子，因为 1 号
罐子中的白色石子占比更大。但是，这个概率究竟是多少呢？
为了确定这一概率，我们首先计算这颗石子是白色且来自 1 号罐子的概率。

有两种方法可以达到目的。
①已知被选中的石子是白色的，用获得白色石子的概率乘以选择 1 号罐子的
概率；

②已知白色石子来自 1 号罐子，用选择 1 号罐子的概率乘以获得白色石子的
概率。
如果我们称 A 为 1 号罐子的假设，B 为白色石子的假设，①可表达为 p(B).
p(A ｜已知 B)，②可表达为 p(A)×p(B ｜已知 A)。

两种方法能得出相同的答案，这只是解决同一问题的两种不同方式。因此，
我们可以写成① = ②，即：
p(B)×p(A ｜已知 B)=p(A)×p(B ｜已知 A)
让我们回到最初的问题上。假设随机大气两个罐子中的一个，从这个罐子中

随机取出一粒石子，且这粒石子是白色的，那么，这粒白色石子是来自 1 号罐子
的概率是多少？答案呼之欲出：

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