Page 34 - 信息的脉络

·信息的脉络·
已。1928 年，希尔伯特在国际数学家大会上谈到了这个系统，今天该系统被称为
皮亚诺算术（PA），它包含了自然数 1，2，3……的基本理论。当哥德尔开始思
考希尔伯特纲领时，希尔伯特的学生阿克曼和冯 . 诺依曼已经为 PA 的一个受限的
子系统找到了这样的证明。哥德尔决定去证明那些较之 PA 更强的系统的一致性。
这是一个很自然的想法。哥德尔曾经希望用有限性方法把这种可以包含实数算术

得更强的系统的一致性还原为 PA 的一致性。这在很大程度是在遵循希尔伯特的路
线：希尔伯特曾经把欧几里得的一致性还原为实数算术的一致性，现在哥德尔希
望把这种还原继续进行下去。如果哥德尔成功了，那么希尔伯特的追随者们对 PA

的一致性的证明就将自动为实数算术的一致性提供证明，这样就满足了希尔伯特
在 1900 年提出的第二个问题的要求。然而这是做不到的。最终，他非但没有保卫
住数学，相反有力地葬送了希尔伯特纲领，希尔伯特纲领走到了尽头。
1930 年 9 月 6 日，在柯尼斯堡召开的“精密科学的认识论会议”上，哥德尔

公布了他的惊人的发现。在会议召开的第二天，大卫·希尔伯特发表了开幕演说。
正是在这里，希尔伯特明确地喊出了他的口号：“Wir müssen wissen,wirwerden
wissen”（我们必须知道，我们将会知道）。他相信所有数学问题都必须得到回答，

而且将会得到回答。这一口号后来刻在了他的墓碑上。哥德尔不完备性定理表明，
如果数学被局限在特殊的形式系统中，那么希尔伯特的信息就是徒劳的。对于任
何一个特定的形式系统中，都会有数学问题超越于他。此外，从原则上讲，每一
个这样的问题都会导向一个更强的系统，在该系统中能够得到这个问题的解答。
我们可以想象出更强系统的分层体系，每一个较强的系统都可以解决较弱的系统

所遗留的问题。虽然所有这些作为理论问题是无可争议的，但是它在何种程度上
会成为数学实践，这个问题却是模糊不清的。哥德尔为数学家们留下了这样一份
遗产，即学会用这些更强的系统来解决棘手的问题。

戈特洛布·弗雷格（1848—1925 年），数学家、逻辑学家，从事数学公理化研究，
尝试建立一个完整且无矛盾的逻辑系统。他的开创性工作对后来数学中的许多发
现产生重大影响。
博兰特·罗素（1872—1970 年），英国数学家、哲学家。1910 年，他与怀特

海合著《数学原理》，书中他们试图把数学建立在坚实的基础上。
库尔特·哥德尔（1906—1978 年），因不完备性定理得名。冯·诺依曼对哥
德尔充满敬意，他帮助哥德尔在普林斯顿得到了一个永久的工作职位。冯·诺依
曼曾说：“如果连哥德尔都不是教授，我们哪有资格当教授？”

戴维·希尔伯特（1862—1943 年），英国数学家。他认为所有的数学问题都有解，
但是要付出足够多的努力才行。他的墓志铭写道“我们必须知道，我们必将知道。”

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