Page 33 - 信息的脉络

·第一部分·
1931 年，哥德尔发表了一篇论文，表明不存在任何能证明所有真算术命题的
一致性公理系统。任何有限的公理系统都无法用于证明其本身的一致性。哥德尔
提出，不能仅用算法本身的公理来证明算法与公理相容。在一篇重要的论文中，
歌德尔打破了人类古老的梦想，即严密的逻辑推理总能产生颠扑不破的真理。他

的结论无疑代表了人类水平最高的智力成果。关于物理世界或理性世界，所有其
他发现都能告诉我们一些以前不知道的东西。而哥德尔定理则告诉我们，数学世
界蕴藏着无穷无尽的新奇事物，即便存在拥有无穷智慧的上帝，也不可能知道每
一件事，这是一个终极的开放命题。哥德尔的定理建构在高深的形式逻辑领域中，

在哥德尔对希尔伯特前两个问题作出了否定回答后，现在只剩下最后一个问题
了——希尔伯特的可判定性问题。但是哥德尔打碎了希尔伯特的梦想。

哥德尔使计划落空

1906 年，库尔特·哥德尔出生于布尔诺。那时的布尔诺仍是奥匈帝国的一部分。
哥德尔的母亲是新教徒，父亲是天主教徒。
当伯特兰·罗素关于数学基础的思想在三大卷《数学原理》中具体成型时，
他的学生，那个才华横溢的维特根斯坦也在那本薄薄的只有 75 页的《逻辑哲学论》

而为世人所知。这两位哲学家的思想在维也纳学派举行的讨论会上扮演着重要角
色。虽然哥德尔对所讨论的问题并没有多少兴趣，但是对于罗素阐述的全部的数
学都可以用一个形式逻辑系统来表示，以及维特根斯坦所强调的在语言的问题，
多少影响了年轻的哥德尔研究方向。维特根斯坦所关注的东西与希尔伯特的立场

一致，他们都认为形式逻辑系统不仅可以在系统内部表达数学推理，而且可以从
数学外部用数学方法加以研究。
在希尔伯特在哥廷根所教授的逻辑课程中，他所采用的逻辑演绎的基本规则

源自弗雷格的《概念文字》以及怀特海和罗素合著的《数学原理》。在 1928 年的
逻辑教科书中，希尔伯特提出了在这些规则之间是否存在间隙的问题。也就是说，
演绎推理应当是正确的，但规则本身却并不足以保证从前提得出结论。他相信并
不存在这样的间隙，但他要求对规则本身是完备的进行证明。哥德尔选择了这个

问题作为博士论文，而且很快就得到了希尔伯特所想要的结果。
在希尔伯特于 1900 年所列的著名问题中，第二个问题是对实数算术的一致性
证明。当时没有人知道这样一个证明是什么样子，特别是不知道它如何才能摆脱
循环论证。也就是说，如何在证明中避免用到证明所要证明其为正当的方法。

希尔伯特在 20 世纪 20 年代介绍了他的元数学纲领：一致性优待证明的公理
将被包含在一个形式逻辑系统之内，而证明仅仅是有限数目的符号的一种排列而

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