Page 30 - 信息的脉络
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·信息的脉络·
完成之时发现那大厦的基础已经动摇，对于科学工作者来说，没有什么能比这更
为不幸的了。伯特兰·罗素的一封信使我置身于这样的境地。
当弗雷格收到罗素的信时，并没有觉得有趣，“罗素悖论”说明弗雷格引以
为傲的数学证明的前提是错误的，是靠不住的。弗雷格再也没有从这个打击中恢
复过来。
罗素曾因撰写了《中国的问题》一书而为大多数国人所知，书中讨论了中国
将在 20 世纪历史中发挥的作用。罗素是 20 世纪最重要的逻辑学家之一，也是分
析哲学的创始人之一。在逻辑学和哲学这两个领域中，作出了实质性的学术贡献，
他几乎完全独立于弗雷格的工作，创立了命题演算和一阶谓词演算，这两者合在
一起构成现代逻辑体系中的经典逻辑部分；他还创立了关系演算，大大扩充和丰
富了数理逻辑的内容。在弗雷格所构造的逻辑—数学体系中，他发现了后来以他
的名字命名的“罗素悖论”，并对悖论产生的原因做出哲学分析：悖论产生于恶
性循环，即一个总体内的元素需要通过它所在的那个总体才能定义。因此，避免
悖论就要禁止恶性循环，由此提出了简单类型论和分支类型论的技术性方案，不过，
这两套方案都存在着这样那样的缺陷。他是逻辑主义纲领的坚定实践家，在这个
过程中严格证明了：从逻辑演算出发，加上两个非逻辑的公理，即无穷公理和选
择公理，就可以推导出一般算术和康托尔集合论。这一方面证明了逻辑主义纲领
在总体上是不正确的；另一方面也精确揭示了数学与逻辑之间的关系。
罗素挽救弗雷格计划的努力体现于罗素与怀特海合写的三卷本巨著《数学原
理》中。这部著作从弗雷格《概念文字》的纯逻辑开始，以清楚明白的数学为结束，
中间是简单而直接的步骤，它完全体现了庞加莱的芝加哥机器的精神。悖论经过
一种精心设计的、使用起来很不方便的分层结构而得以避免。事实上，在这种结
构中，任何一个集合都只能拥有来自同一层的成员。这种分层大大削弱了普通数
学的能力，以致一条特别可疑的还原公理被体现了出来，以穿透层与层之间树立
起来的壁垒。《数学原理》是一个里程碑式的成就，它一劳永逸地证明了，在一
个符号逻辑系统中对数学进行完全的形式化是绝对可行的。
希尔伯特的拯救
大卫·希尔伯特出生于小城柯尼斯堡的一个新教家庭。柯尼斯堡位于普鲁士
东部，以哲学家伊曼努尔 . 康德的故乡而闻名。20 世纪 20 年代，希尔伯特提出了
一个问题，并称之为“判定性问题”：有没有一种算法，能够判定在谓词逻辑下
的命题是可以证明成立呢？
如果一个问题可以能够算法解决，我们就说它是“可判定”或是“可计算的”。
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