Page 32 - 信息的脉络

·信息的脉络·
素的整个思想是使用自动、无懈可击、去个人化的方式从最原始的逻辑思想推导
算法。1902 年，罗素写信给弗雷格，探讨这个悖论。罗素的信让弗雷格手足无措。
对此，弗雷格给出了自己的一些想法：“你发现的这个矛盾让我很惊讶，应该说
让我大吃一惊。因为它动摇了我要创建的算术的基础。不管怎样，你的发现很惊人，
虽然乍一看它有些令人不快，但它可能回推动逻辑学的巨大进步。”

到 1928 年，人们的关注点从弗雷格和罗素的大胆尝试转移到确定数学的本质
上来。而此时的希尔伯特正在深入研究数学的逻辑基础问题。早在 1899 年，希尔
伯特就成功地找到了一套公理，从这套公理（一小部分不证自明的公理）出发，

希尔伯特能够证明所有欧几里得几何学定理，而不需要世纪物理世界的几何证据
一年后，在巴黎一次会议上，希尔伯特提出了 23 个重要且尚未解决的数学问题。
其中，第二个问题是“算术公理系统的无矛盾性”。有许多关于公理的问题，希
尔伯特说最重要的是：“证明公理是不矛盾的，即基于这些公理之上一定数量的

逻辑步骤永远不产生矛盾结果。”
1928 年，在博洛尼亚国际数学会议上，希尔伯特把这个问题描述得更加精确。
对于希尔伯特提出的三个问题，安德鲁·霍奇斯描述如下：

“第一个，数学是否具有完全性。换言之，每个命题（如每个正整数均可表
示为 4 个整数的平方）要么被证明，要么被否决；第二个，数学是否具有相容性。
从这个意义上，2+2=5 这个命题不能通过一系列有效证明步骤实现；第三个，数
学是否具有可判定性。他的意思是，是否存在一种确定的方法，理论上可适用于
任何假设，并且能够保证不论假设是否正确都能给出一个正确的结果。”

最后这个问题就是著名的可判定性问题。希尔伯特践行，这些问题的答案是
肯定的。但是，几年后，库尔特·哥德尔（Kurt.Gödel）给了希尔伯特新提出的问
题致命一击。

哥德尔的严谨细致是众所周知的。中学时，他就因从未出现一个语法错误而
出名。1924 年，哥德尔进入维也纳大学就读 1931 年，他写了一篇关于数学不完全
性的著名论文。哥德尔在论文中提出并证明了一个惊人的结论。他指出，数学必
须是不完全的，即从一组给定的公理出发，总存在一些命题既无法证明为真，也

无法证明为假。为了证明这个结论，哥德尔首先表明，任何一个形式化数学系统
的程序规则都能够编码成纯粹的算术命题。然后，他构造了自相关的算术命题，
有点像罗素使用的“集合的集合”。特别是，哥德尔可以构造一个数学命题，有
效地说明“这个命题是无法证明的”。命题不能被证明为真，因为它会产生矛盾。

但是同样的，他也不能被证明为假，因为这也会引起矛盾。这让人联想到著名的“说
谎者悖论”：当一个人说“我现在说的这句话是谎话”时，这是真话还是假话？

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