Page 28 - 信息的脉络

·信息的脉络·
因此，每个希腊人都会死。
我们很难理解，人们普遍认为理解了三段论推理便理解的逻辑的全部，布尔
眼里批评了这一观念。布尔设计了一种语言，用来描述与操作这些逻辑语句，以

及判断更复杂的命题是真还是假。使用“与”（AND）、“或”（OR）和“非”
（NOT）等逻辑运算符可以将这些命题用等式表示出来。当两个命题进行“与”

运算时，只有它们的取值都为真，得到的复合命题才是真的，否则就是假的；当
两个命题进行“或”运算时，只要两个当中有一个取值为真，结果就是真；而“非”
运算是对一个命题的否定，如果原命题为真，则“非”为假，否则为真。布尔认为，

所有复杂的运算都可以用上述三种简单的逻辑运算组合而成。
例如，如果命题 A 或命题 B 都不为真，那么命题 A 与命题 B 一定都为假。我

们可以用如下的等式把这个明显的事实表示出来：
NOT（A OR B）=（NOT A）AND（NOT B）
这个等式就是著名的德·摩根定律，以布尔的同事德·摩根的名字命名。德·摩

根定理虽然简单，却是布尔逻辑最具威力的表达式。借助这种方法，布尔代数可
以分析更复杂的逻辑命题。现实世界中各种复杂的表述、因果关系、逻辑推理等

就变成了一些简单的数学符号运算。英国著名的逻辑学家和数学家艾尔弗雷德·怀
特海发现布尔的方法还可以用来解决所有的计算问题，1898 年，怀特海在《泛代数》

一书中全面运用了布尔的理论。
布尔的逻辑体系不仅包含了亚里士多德的逻辑，而且还远远超过了它。但这

距离实现莱布尼茨的梦仍旧非常遥远。乔治·布尔的伟大成就是一劳永逸地证明
了逻辑演绎可以成为数学的一个分支。此后数学家发现使用布尔代数可以实现我
们已知的全部运算，如加、减、乘、除、乘方、开方、微分、积分等。由于布尔

给出的方法其实是特殊的数学运算，所以他所发明的这套工具被称为布尔代数。

弗雷格从突破到绝望

1848 年 11 月 8 日，戈特洛布·弗雷格出生在德国的小城维斯玛。他的父亲是
福音派新教神学家。弗雷格进入大学时是 21 岁。在耶拿大学学了两年后，到了哥

廷根大学。3 年后，获得数学博士学位。接着被任命为耶拿大学的编外讲师，五年
后被任命为耶拿大学的副教授，在那里他以副教授的教职一直待到 1918 年退休。

弗雷格提出了把普通数学中一切演绎推理都包含在内的第一个完备的逻辑体
系，他用逻辑分析工具来研究语言的开拓性工作为哲学的主要发展提供了基础。

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