Page 31 - 信息的脉络

·第一部分·
例如，对于一个由两个数得出其最大公约数的函数，如果用 x 的值可以计算出 f(x)

的值，我们就说它是“可计算的”。于是，希尔伯特的判定问题就可以这样描述：
设有一个关于命题的函数，该命题可证明成立则函数值为 1，否则为 0，那么这个
函数可以计算吗？希尔伯特提出让计算回归。
从原则上说，我们可以计算的问题是否存在限制？如果我们能够建造一台足

够大的计算机，那么它必定能够计算出我们所提出的一切问题吗？还是说，不管
这台计算机多么强大，总会有一些问题是它不能回答的？在建造计算机之前，这
些计算机算科学的基本问题就一直处在讨论之中。

20 世纪早期，数学家努力适应很多新概念，包罗无穷大数理论和令人困惑的
集合论悖论。伟大的德国数学家戴维·希尔伯特向数学界提出了一个挑战：把数
学建在统一的逻辑基础上。现在我们很难想象，在 20 世纪早期，数学和物理一样
都处在那样的混乱之中。在物理界，相对论和量子力学颠覆了所有有关自然界的

经典假设。那么，数学界发生了哪些可与物理界相提并论的变革呢？
19 世纪晚期，数学正一步步从仅用于计算和度量的传统角色中解放出来。高
中代数开始把字母用作数值数量符号。到了 20 世纪，出现了一种更抽象的观点，

把代数中公认的数值规则归纳成一条符号移动规则，这样就不必用具体的数字来
解释了。希尔伯特是形式主义数学研究的领导人之一，形式主义数学致力把数学
转换成一种更抽象的形式，从而可使用不同的规则和符号探索新型代数。这催生
出许多新的研究领域，如群论和希尔伯特空间，它们最终被应用到物理学研究中。
然而，想要证明数学的形式化方法这座大建筑统一而不矛盾的尝试无一不陷入困

境。最困难的是，证明根据商定规则操纵符号总是有意义的，并且不会产生诸如
3+3=7 这样的矛盾。
德国逻辑学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）和威尔士数学家伯特兰·罗

素（Bertrand Russell）分别用集合论的思想证明了数学的一致性问题。集合是由一
组带有特定属性的对象组成的。例如，我们可以把某个城镇中的所有男人定义成
一个集合。而且，我们还可以为这个集合定义出一个子集合。例如，其中所有长
着红头发的男人。1901 年，罗素发现，当他试图在争论中使用“所有集合的集合”时，

就会出现逻辑矛盾。罗素使用一个城镇的例子来解释这个矛盾，这个城镇中只有
一个男理发师，城里的所有男士由这个理发师刮胡子。悖论可以表述为：城中理
发师的只给那些并不能自己刮胡子的人刮胡子。我们把城中所有男人定义成一个
集合，它包含两个子集，一个由自己刮胡子的男人组成，另一由请理发师刮胡子

的男人组成。那么我们应该把理发师归入哪个子集呢？由于这些集合被认为是抽
象的实体，所有内有办法通过询问符号的真正含义来解决这个矛盾。弗雷格和罗

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