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第一章 逻辑的准备

第一节 从莱布尼茨到哥德尔

一个不懂数学的人，他就不能理解——至少不能完全理解——世界上这些特
殊的现象、这些自然法则最本质的东西以及事物间的联系。

——理查德·费曼

数学的三次抽象运动

莱布尼茨生活的时代是科学革命蓬勃发展的时代，同时开普勒、伽利略等科
学巨匠正在撕开一个个科学的口子，带给人们理性的思维，数学成为科学发展最

重要的工具。此时的数学已经经历了三次伟大的抽象，分别诞生了算术、几何和
代数。

长久以来，人类在不知不觉中掌握了各种数据与概念。然而，人类是从什么
时候开始想要计算的呢？这很难说。但无论如何，如果想要计算就必须要有数字。

那么，人类是什么时候开始产生计数的需求的呢？
或许，是从智人决定在位于两河流域的美索不达米亚地区定居下来的那一刻
起。农业和畜牧业的发展逐渐衍生出类似“收成”或“（牛、羊或家禽）群”的概念，

于是人们需要一种衡量“收成”或“群”量的方法。那么，在将牛群、羊群托付
给远去方木数月的牧羊人之前，羊群的主人该如何记住羊的数量呢？

这时，石子成了计算和用于记忆的工具。人们把与羊的数量等同的石子放入
一个罐子里。这将成为羊群主人与牧羊人在数月之后商榷后者薪酬的基础。

◆ 第一次抽象运动
有一天，有人萌生了在装石子的罐子上铭刻符号的想法，这样一来，人们不

必打开罐子，也可以记住罐子里有多少石子了。也就是说，人们在罐子外面画上
与罐子里的石子同样数量的羊。文字的概念即将出现……此外，还有另一个更具
革命性的想法：将数字从其具体应用中分离出来。

有一天，有人在描述饲养在彭中的家禽的总数时，不再画出 7 次小鸡或鸭子

的符号，而是创造了一种意思为数量“7”的符号，并把它加在需要被计数的动物
图案后面。

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