Page 47 - 李路论文集

9. 大数据的特征解

ψ’=E-Ty （5）
dψ’=-ydT-PdV （6）
dψ’/dT=-ydψ’/dV=-P （7）

ξ=ψ’-Tdψ’/dT （8）
从方程（1）和方程（3）可以知道平均能量的计算。
E=θ2 鄣 logZ/ 鄣 θ （9）
对于理想气体来说，一个分子的能量为 p2/2m，如下方程可以成立公式为：

Z=∫…∫dx1...dpzNexp(-1/2mθ ∑ Pi2)=VN(2πmθ)3N/2 (10)
（基本的积分评估，空间积分只贡献了 VN，动量积分是高斯积分）。
于是得到如下方程：
E=(3/2)Nθ （11）

E=(3/2)NKT=3/2RT （12）
得到一个理想气体，具有 N 个分子在容量为 V 的容器里的能量。由实验知
道方程（12）的 1 摩尔理想气体的热力学能。方程（12）中的 R 为理想气体常数，
T 为绝对温度，N 为阿伏伽德罗常数，K 为玻尔兹曼常数。比较方程（11）和方

程（12）知道 θ=KT。
同样很容易推导出麦克斯韦尔 - 玻尔兹曼分布，应用概率为：
P(p1,x1)d3p1d3x1=(∫…∫d3x1d3p1...d3pNe-E/θ)/∫…∫dx13…dpNe3-E/θ=1/Ve-
p2(2mθ)(2mθ)-3/2d3p1d3x1 (13)
分子 1 有一个指定的位置和动量。计算公式中取消掉的符号的意思为分子 1

的动量和坐标是不可以积分的。方程（13）同样只符合理想气体，然而一般能够
确定 θ=KT。根据微分方程（3）中的 θ 很容易从方程（11）(θ=KT) 建立一般
连接写成如下方程：

E=ψ-T 鄣 ψ/ 鄣 T=ξ （14）
比较一般的热力学关系方程（8），根据这些关系可以推导出标准的集合体，
参数 θ 和自由能 ψ 确实能起着不同的作用。对于理想气体 ψ 确实能够计算，
而且是理想气体的自由能。因此一般在方程（3）中 ψ 和 ψ’是有区别的，它

是一个含微观力学的积分中的热力学自由能。同时，对观察到的 y’的数量感兴趣，
由如下方程（15）定义，在所有例子中，它起着热力学熵的规律。
y’=∫ρlogρdτ/∫ρdτ （15）

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